Question

3^x+4^x+5^x=6^x 这个方程怎么解？求高手够解答！谢啦！

Answer 1

两边除以6^x
(1/2)^x+(2/3)^x+(5/6)^x=1
x=3时，两边相等

令f(x)=(1/2)^x+(2/3)^x+(5/6)^x
因为1/2,2/3,5/6都是大于0小于1
所以(1/2)^x，(2/3)^x，(5/6)^x都是减函数
所以f(x)是减函数
而f(3)=1
所以x>3,f(x)<1
x<3,f(x)>1
所以只有x=3时等式成立

所以x=3

追问

两边除以6^x
(1/2)^x+(2/3)^x+(5/6)^x=1
x=3时，两边相等

问一下，X=3怎么算出来的？

追答

f(x) = (3/6)^x + (4/6)^x + (5/6)^x - 1,
f'(x) = (3/6)^x*ln(3/6) + (4/6)^x*ln(4/6) + (5/6)^x*ln(5/6) 0.
f(正无穷）= -1<0.
f(x)只有1个实零点。
而f(3) = (3/6)^3 + (4/6)^3 + (5/6)^3 - 1 = [27+64+125]/6^3 - 1
f(3) = 216/216 - 1 = 0,
x = 3是f(x)的1个零点。
所以，
x = 3是f(x)的唯一零点。
x=3是方程3^x+4^x+5^x=6^x的唯一实根。

Answer 2

两边除以6^x
(1/2)^x+(2/3)^x+(5/6)^x=1
x=3时，两边相等

令f(x)=(1/2)^x+(2/3)^x+(5/6)^x
因为1/2,2/3,5/6都是大于0小于1
所以(1/2)^x，(2/3)^x，(5/6)^x都是减函数
所以f(x)是减函数
而f(3)=1
所以x>3,f(x)<1
x<3,f(x)>1
所以只有x=3时等式成立

Answer 3

这是导数的，学了之后就变得很简单了，你可以去看看导数的以及微积分的理论。