Question

数学题……急，求详细过程

已知函数f(x)=2sinxcosx＋cos2x(x属于R),求函数的最小正周期和最大值？
若a为锐角，且f（a+派/8）=根号2除以3，求tan2a的值

Answer 1

已知函数f(x)=2sinxcosx＋cos2x(x属于R),求函数的最小正周期和最大值？
解： ∵f(x)=2sinxcosx＋cos2x
=sin2x+cos2x
=sin2x+sin(π/2-2x)
=2sin(π/4)*cos(2x-π/4)
=√ 2cos(π/4-2x)
=√2sin(2x+π/4)

∴函数的最小正周期
T=2π/2
=π;
最大值
A=√ 2.

若a为锐角，且f（a+派/8）=根号2除以3，求tan2a的值.
解：由半角公式，得
tanπ/8=tan(π/4)/2=[1-cos(π/4)]/sin(π/4)=√ 2-1.
由a为锐角，且f（a+π/8）=√ 2/3
⇒tan(a+π/8）=√ 2/3
⇒(tana+tanπ/8)/(1-tana*tanπ/8)=√ 2/3
⇒tana=[(√ 2/3)-tanπ/8]/[1-(√ 2/3)*tanπ/8]
==[(√ 2/3)-（√ 2-1）]/[1-(√ 2/3)*（√ 2-1）]
=（17-8√2）/23.
⇒tan² a=（112+272√2）/529.
∴tan2a=2tana/(1-tan² a)
=2[（17-8√2）/23]/[(417-272√ 2）/529]
=23(17-8√2）/8(7+17√2）
=2√2.
另解：
f(a+π/8)=√2sin[2(a+π/8)+π/4]= √2/3
sin(2a+ π/2)=1/3
cos2a=1/3
因为0<a<π/2
0<2a<π
所以sin2a>0 tan2a>0
sin2a=2√2/3.
tan2a=sin2a/cos2a=2√2/3/(1/3)=2√2 .

Answer 2

f(x)=2sinxcosx＋cos2x=sin2x+cos2x=根号2sin(2x+pai/4)
最小正周期：T=2pai/2=pai，最大值=根号2
f(a+pai/8)=根号2sin(2a+pai/2)=根号2cos2a=根号2/3，cos2a=1/3 sin2a=2根号2/3
tan2a=2根号2

Answer 3

这道题应用了诱导公式。
sin2x=2sinxcosx
sin(x+π/2）=cosx
还有Asinx+Bcosx=√(A^2+b^2) sin(x+C)
解：
（1）f(x)=sin2x+cos2x
= √2（√2/2sin2x+√2/2cos2x)
=√2sin(2x+π/4)
T=2π/2=π max= √2
（2）f(a+π/8)=√2sin[2(a+π/8)+π/4]= √2/3
sin(2a+ π/2)=1/3
cos2a=1/3
因为0<a<π/2
0<2a<π/2
所以sin2a>0 tan2a>0
（你画个小直角三角形，设邻边为1，斜边为3，可得对边为2 √2）
tan2a=2√2