Question

证明题：设a1,a2,a3是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，

证明：β1=a1+2a2+a3，β2=2a1+3a2+4a3，β3=3a1+4a2+3a3也可作为AX=0的基础解系

Answer 1

证明: 因为 β1,β2,β3 是a1,a2,a3的线性组合
所以 β1,β2,β3 仍是 Ax=0 的解.
又因为两个向量组的个数相同, 所以只需证β1,β2,β3线性无关.

(β1,β2,β3)=(a1,a2,a3)K
K =
1 2 3
2 3 4
1 4 3
因为 |K|=4≠0, 所以 K 可逆.
所以 r(β1,β2,β3)=r[(a1,a2,a3)K]=r(a1,a2,a3)=3
所以 β1,β2,β3 线性无关.
故 β1,β2,β3 是Ax=0 的基础解系.