Question

设a,b,c为三角形的三边,求证:a/(1+a)+b/(1+b)>c/(1+c)

Answer 1

因为a+b>c a,b,c为正整数

abc+2ab+a+b-c>0

abc-c+ab-1+a+b+ab+1>0
(c+1)(ab-1)+(a+1)(b+1)>0

(c+1)(ab+a+b+1-b-1-a-1)>-(a+1)(b+1)

(a+1)(b+1)(c+1)>(c+1)(b+1)+(a+1)(c+1)-(a+1)(b+1)

1>1/(1+a)+1/(1+b)-1/(1+c)

1-1/(1+a)+1-1/(1+b)>1-1/(1+c)
所以

a/(1+a)+b/(1+b)>c/(1+c)

Answer 2

根据要证不等试的结构特点,可采用构造函数法:
解:f(x)=x/(1+x),
因为f(a)+f(b)=a/(1+a)+b/(1+b)>a/(a+b+1)+b/(a+b+1)=f(a+b)
所以f(a)+f(b)>f(a+b)
又因为a,b,c为三角形的三边,所以a+b>c,
且f(x)=x/(1+x)=1-1/(1+x)在0到正无穷上是增函数
所以f(a+b)>f(c)
所以f(a)+f(b)>f(c)
故原不等式成立.