Question

设a/b/c为三角形的三条边，求证：c/(a+b)+a/(b+c)+b/(a+c)<2

Answer 1

c/(a+b)+a/(b+c)+b/(a+c）<2,不妨假设a<=b<=c，首先必有a+b>c,所以c/(a+b)<1，所以证明a/(b+c)+b/(a+c）<=1即可，然后两边去分母，得到a(a+c)+b(B+c)<(a+c)(b+c),张开后移项得到a(a-b)+b(b-c)+c(b-c)<=0，三项都小于等于0，所以显然已成立，所以a/(b+c)+b/(a+c）<=1，再结合c/(a+b)<1，即得c/(a+b)+a/(b+c)+b/(a+c）<2,

Answer 2

我们首先来证明
c/(a+b)<2c/(a+b+c)
即证1/(a+b)<2/(a+b+c)
即证：a+b+c<2(a+b)
即证a+b>c显然成立。
同理我们有a/(b+c)<2a/(a+b+c)
b/(a+c)<2b/(a+b+c)
三式相加即c/(a+b)+a/(b+c)+b/(a+c)<2(a+b+c)/(a+b+c)=2