Question

设f(x)在[0,a]上连续，且f(0）=f(a）， 证明：存在&属于（0,a）,使得f(&)=f(&+a）

Answer 1

这个题有问题，若真存在&属于（0,a）,使得f(&)=f(&+a），那f(&+a)的定义在哪里？

我记得好像有这么一个问题：
　　设f(x)在[0,2a]上连续，且f(0）=f(2a）， 证明：存在ξ属于[0,a],使得f(ξ)=f(ξ+a）.
　　这个问题可以如下证明：
　　令F(x)=f(x)-f(a+x),x∈ [0,1]，则由条件知，F(x)在[0,a]上是连续的，且
　　　　　　F(0)=f(0)-f(a)，F(a)=f(a)-f(2a)=f(a)-f(0)=-F(0)
若F(a)=F(0)=0.则问题已经解决，只要取ξ=0或ξ=a都可以。
若F(a)不为零，不妨设F(a)>0,则F(0)<0, 于是由F(x)在[0,a]上的连续性，再由根的存在性定理可知至少存在一点ξ∈ (0,1), 使得F(ξ)=0,　即f(ξ)=f(ξ+a).

不知对你是否有用。

追问

哦，题错了，是使得f(&)=f(&+a/2）

哦，题错了，是使得f(&)=f(&+a/2）

追答

将我的证明过程中的2a改为a, 将a改为a/2就可以了。
令F(x)=f(x)-f(a/2+x),x∈ [0,a/2]，则由条件知，F(x)在[0,a/2]上是连续的，且
　　　　　　F(0)=f(0)-f(a/2)，F(a/2)=f(a/2)-f(a)=f(a/2)-f(0)=-F(0)
若F(a/2)=F(0)=0.则问题已经解决，只要取ξ=0或ξ=a/2都可以。
若F(a/2)不为零，不妨设F(a/2)>0,则F(0)<0, 于是由F(x)在[0,a/2]上的连续性，再由根的存在性定理可知至少存在一点ξ∈ (0,a/2), 使得F(ξ)=0,　即f(ξ)=f(ξ+a/2).