Question

在三角形ABC中，A,B,C的对边分别是a，b，c，且acosC，bcosB,ccosA成等差数列。

若b=3，求三角形ABC面积的最大值。

Answer 1

acosC，bcosB,ccosA成等差数列 得到 2bcosB=acosC+ccosA；
现在来化解2bcosB=acosC+ccosA；
2bcosB=acosC+ccosA
2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA
2sinBcosB=sin（A+C）
2sinBcosB=sinB
因为sinB不等于0;(因为如果sinB=0，B=0°或是180°，不成立)
cosB=1/2
那么根据（sinB）^2+(cosB)^2=1;得到sinB=根号3/2
S面积=1/2*ac*sinB
现在只需要算出ac的最大值就可以了
根据余弦定理：a^2+c^2-b^2=2ac*cosB
带入cosB，b=3这些已知条件，得到
a^2+c^2=9+ac；
化成：（a+c）^2=9+3ac;(1)
再根据基本不等式ac<=(a+c)^2/4;
将（1）代入
ac<=(9+3ac)/4
化简 得到
ac<=9;
也就是ac的最大值就是9；
那么 S面积=1/2*ac*sinB，面积的最大值就是当ac=9的时候取的。Smax=1/2*9*(根号3/2)。。。。
剩下的都知道啦.....