Question

已知函数fx=ax^2+2bx+c,a≠0，且f1=b，

（1）求证：存在x1,x2∈R，使得f（x1）=f（x2)=0
（2）对1中的x1,x2,若(a-b)(a-c)>0,求（x1-x2）的绝对值的取值范围

Answer 1

1）因为 f(1)=a+2b+c=b，所以 a+b+c=0，
则 Δ(2b)^2-4ac=4(-a-c)^2-4ac=4(a^2+c^2+ac)=4(c+a/2)^2+3a^2>0，
所以，f(x)=0 有两个不等的实根，
即 存在x1≠x2∈R，使f(x1)=f(x2)=0。

2）因为 x1、x2 是方程f(x)=ax^2+2bx+c=0 的根，所以
x1+x2=-2b/a，x1*x2=c/a，
所以，由|x1-x2|^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=(-2b/a)^2-4c/a=4(b^2-ac)/a^2
由于 a+b+c=0，

Answer 2

a+2b+c=b
a+b+c=0
只要求delta>=0

4b^2-4ac=4(a+c)^2-4ac=2(a+c)^2+2a^2+2C^2>=0
所以（1）一定存在