Question

如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E，试说明IE是AE和DE的比例中项

如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E，试说明IE是AE和DE的比例中项

Answer 1

连接CE
则角ECB=角BAE=角EAC
所以三角形EDC相似于三角形ECA
所以AE*DE=CE平方
角EIC=1/2角BAC+1/2角BCA=角ECI
所以IE=CE
所以IE是AE和DE的比例中项

Answer 2

证明：（2）连接IB．
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∴弧BE=弧CE，则BE=CE，
∴∠BIE=∠BAD+∠ABI=∠IBD+∠CAD=∠IBD+∠CBE=∠IBE，
∴IE=BE，
即C、I两个点在以点E为圆心，EB为半径的圆上

Answer 3

E是BC弧中点，连结CE，BE=IE=CE，《BCE=〈BAE（同弧圆周角相等），
〈BAE=〈EAC，
〈EAC=〈DCE，
〈DEC=〈AEC（公用），
△CDE∽△ACE，
CE/AE=DE/CE，
CE^2=DE*AE,
CE=IE=4,AE=8,
DE=2.

Answer 4

lkn