Question

大家快来！高中数学！

一变压器的铁芯截面为正十字型（两个全等的长方形，它们完全重合，把其中一个长方形绕中点旋转90度后得到的组合图叫正十字型），为保证所需的磁通量，要求十字应具有四倍根号五平方厘米的面积，问应如何设计十字型宽x及长y,才能使其外接圆的周长最短，

Answer 1

你好！
分析：设外接圆的半径为Rcm，则 R= 根号（x2+y2）/2，根据面积求出长，然后表示出外接圆的周长，利用导数研究函数的最小值即可．
解答：解：设外接圆的半径为R cm，则 R= 根号（x2+y2）/2．
　　由2xy-x^2=4根号 5，得 y=( 4根号5+x^2)/2x．
　　要使外接圆的周长最小，需要R取最小值，也即R2取最小值．
　　设 f（x）=R2= 1/4[x2+（( 4根号5+x^2)/2x）^2]= 5/16x2+ 5/x^2+ 根号5/2（0＜x＜2R）
则 f'（x）= 5x/8- 10/x^3．令f'（x）=0 解得x=2 或x=-2（舍去）．
　　当0＜x＜2 时f'（x）＜0；当x＞2 时，f'（x）＞0．
　　因此当x=2时，R^2最小，即R最小，周长最小为 π根号（10+2根号5 ）（cm)^2．