Question

高中数学，高分！

已知函数f(x)=a的x次方减去xlna(a大于0且a不等于1)，当a大于1时求证函数f(x)在(0，正无穷)上单调递增，若函数y等于|f(x)-t|-1有三个零点，求t的值，若存在x1，x2属于负1到1闭区间，使得|f(x1)-f(x2)|大于等于e-1，试求a的取值范围

Answer 1

(1) f(x)=a^x-xlna  求导，得 f'(x)=a^x*lna-lna=lna(a^x-1)

当a>1时，lna>0，a^x为增函数，在x∈(0,+∞)上有a^x>1

∴f'(x)>0, f(x)在(0,+∞)上单调递增

(2) 令f'(x)=0解得x=0；

不论a的取值如何，当x≤0时，总有f'(x)<0；当x≥0时，总有f'(x)>0

∴f(x)是一条在(-∞,0]上单调递减，在[0,+∞)上单调递增的U形曲线，最小值为f(0)=1

    y=|f(x)-t|-1相当于先将f(x)向下平移t个单位，再将x轴下方的图像翻转到x轴上方，再整体下移1个单位；f(x)本身平移后与x轴有2个交点，t值的大小决定了翻转部分交点的个数：

  当t值较小时，x轴下方无图像或图像较小，翻转再平移之后未能与x轴相交，则总交点≤2个；

  当t值较大时，x轴下方图像翻转并平移之后仍与x轴相交且有2个交点，则总交点=4个；

  当t值适中时，x轴下方图像翻转并平移后刚好与x轴相切，有1个交点，则总交点=3个。

即3个交点时，y(0)=0=|f(0)-t|-1=|1-t|-1，解得t=2  (t=0时只有1个零点，舍弃)

(3) f(x)=a^x-xlna , f'(x)=a^x*lna-lna=lna(a^x-1)；

对于x1，x2∈[-1,1]，利用拉格朗日中值定理，有

|u|=|f(x1)-f(x2)|=|f'(ξ)(x1-x2)|=|lna(a^ξ-1)|*|(x1-x2)|        ξ∈(x1,x2)

令|x1-x2|≥1，则|u|≥|lna(a^ξ-1)|，欲使|u|≥e-1   则必使a≥e

图如下：

Answer 2

我只是小学生！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！