不定积分lnx/(1+x^2)的2分之3次方(指数在分母上)
∫lnxdx/(1+x^2)^(3/2)
=(x=tanu代换)
=∫lnxd[x/(1+x^2)^(1/2)]
=xln[x/(1+x^2)^(1/2)]-∫dx/(1+x^2)^(1/2)x
=tanu代换
=xln[x/(1+x^2)(1/2)-1/2ln[(1+sin(arctanx)/(1-sinarctanx)] sin(arctanx)
=x/(1+x^2)^(1/2)
由定义可知:
求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。
这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时,表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。
∫lnxdx/(1+x^2)^(3/2)
=(x=tanu代换)
=∫lnxd[x/(1+x^2)^(1/2)]
=xln[x/(1+x^2)^(1/2)]-∫dx/(1+x^2)^(1/2)x
=tanu代换
=xln[x/(1+x^2)(1/2)-1/2ln[(1+sin(arctanx)/(1-sinarctanx)] sin(arctanx)
=x/(1+x^2)^(1/2)
扩展资料
不定积分真正给出了导数的逆运算,这个效果是用一个变上限的黎曼积分、或者是勒贝格积分所替代不了的(即便忽略相差一个常数的意义下)。
如果把 f 的原函数 F(x) 用来定义一个称为牛顿积分的定西,把 F(b)-F(a) 定义为 f(x) 在 a 到 b 的积分,那么这个牛顿积分的可积性与黎曼可积性或者勒贝格可积性互不蕴含。
> int(ln(x)/(1+x^2)^(3/2),x);
ln(x)*x/(1+x^2)^(1/2)-arcsinh(x)
arcsinh(x)是反双曲正弦函数