Question

不定积分lnx/(1+x^2)的2分之3次方（指数在分母上）

Answer 1

∫lnxdx/(1+x^2)^(3/2)

=(x=tanu代换)

=∫lnxd[x/(1+x^2)^(1/2)]

=xln[x/(1+x^2)^(1/2)]-∫dx/(1+x^2)^(1/2)x

=tanu代换

=xln[x/(1+x^2)(1/2)-1/2ln[(1+sin(arctanx)/(1-sinarctanx)] sin(arctanx)

=x/(1+x^2)^(1/2)

由定义可知：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。

Answer 2

过程如下：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

扩展资料：

虽然很多函数都可通过如上的各种手段计算其不定积分，但这并不意味着所有的函数的原函数都可以表示成初等函数的有限次复合，原函数不可以表示成初等函数的有限次复合的函数。

将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和。

Answer 3

The answer is here,skills of integration by parts is required

Answer 4

∫lnxdx/(1+x^2)^(3/2)

=(x=tanu代换)

=∫lnxd[x/(1+x^2)^(1/2)]

=xln[x/(1+x^2)^(1/2)]-∫dx/(1+x^2)^(1/2)x

=tanu代换

=xln[x/(1+x^2)(1/2)-1/2ln[(1+sin(arctanx)/(1-sinarctanx)] sin(arctanx)

=x/(1+x^2)^(1/2)

扩展资料

不定积分真正给出了导数的逆运算，这个效果是用一个变上限的黎曼积分、或者是勒贝格积分所替代不了的（即便忽略相差一个常数的意义下）。

如果把 f 的原函数 F(x) 用来定义一个称为牛顿积分的定西，把 F(b)-F(a) 定义为 f(x) 在 a 到 b 的积分，那么这个牛顿积分的可积性与黎曼可积性或者勒贝格可积性互不蕴含。

Answer 5

这个积分应该是非常麻烦的，下面是我用数学软件Maple算出的结果：
> int(ln(x)/(1+x^2)^(3/2),x);

ln(x)*x/(1+x^2)^(1/2)-arcsinh(x)

arcsinh(x)是反双曲正弦函数