Question

求解高三数学题

已知an是首项为a1，公比为q(q≠1)的等比数列，其前n项和为Sn，且有S10/S5=33/32，设bn=2q+Sn， (1)求q的值 (2)数列bn能否为等比数列？若能请求出a1的值，若不能请说明理由

Answer 1

(1)利用公式Sn=[a1*（1-q^n)]/(1-q) 将S10和S5具体表达，写入S10/S5=33/32式子，整理，得
32q^10-33q^5+1=0,通过十字相乘分解因式得（32q^5-1)*(q^5-1)=0,解得q^5=1/3或者q^5=1(舍）
所以q=1/2.
(2)将上题的q=1/2，代入bn=2q+Sn，得bn=1+2a1-a1/2^(n-1),同理bn+1=1+2a1-a1/2^n，利用bn+1/bn=[1+2a1-a1/2^n]/[1+2a1-a1/2^(n-1)],进一步处理bn+1/bn=[1+2a1-a1/2^（n-1）+a1/2^n]/[1+2a1-a1/2^(n-1)],bn+1/bn=1+（a1/2^n)/[1+2a1-a1/2^(n-1)],再通过分子分母同时乘以2^n得
bn+1/bn=1+a1/{[2^(n-1)]*(1+2a1)-2a1}
要使得bn为等比数列，即要求不管n为何值该比值都为一个定值，因此1+2a1=0即可，则a1=-1/2
其实此时还可以求出bn公比为1/2。
个人觉得过程已经够详细了，希望你能看懂，也希望我计算没有出现错误，最后记得给分哦，赫赫。。。

Answer 2

(1)很明显，直接把sn的表达式写出来再代入s10和s5, 于是有(1 - q^5) / (1 - q^10) = 33/32
则有33 q^10 - 32 q^5 -1 = 0, 可令t = q^5, 求得t = 1 OR t = -1/33，因为q ≠1,
所以 q^5 = -1/33,则q = -sqrt(1/33) (好吧，这叫什么题目？？？)
(2)bn / b(n-1) = (2q + Sn) / (2q + Sn-1) , 则本题变为
(c+A) / (c+B) = k, 其中c、k均为常数。则化简有
c-kc = kB-A,即kB-A = a1(k-1-kq^n - kq^(n-1)) 是常数，在有且仅有当a1= 0时成立。但是ai ≠0(等比数列)，所以bn 不能为等比数列。

Answer 3

(1)S10/S5=33/32 (q^10-1)/(q^5-1)=33/32 32q^10-33q^5+1=0 q^5=1/32 q^5=1(舍去)，q=1/2
(2)bn=2a1[1-(1/2)^n]+1 b1=a1+1 b2=(3/2)a1+1 b3=(7/4)a1+1
[((3/2)a1+1]^2=(a1+1)[(7/4)a1+1] a1=-1/2