Question

在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，tan∠ADC=2．

（1）求DC的长；
（2）E为梯形内一点，F为梯形外一点，若BF=DE，∠FBC=∠CDE，试判断△ECF的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若BE⊥EC，BE：EC=4：3，求DE的长．

Answer 1

1.作AG⊥CD于G
则tan∠ADC=AG/DG=2
∴DG=AG/2=5
又CG=AB=5
∴DC=10
2.∵BC=10=DC,∠FBC=∠EDC,BF=DE
∴△BCF≌△DCE(SAS)
∴CF=CE
∠BCF=∠DCE
∴∠ECF=∠BCF+∠BCE=∠DCF+∠BCE=90°
∴△ECF是等腰直角三角形
3.作EH⊥DC于H
∵BE⊥EC，BE:EC=4:3
又BC=10
∴BE=8，EC=6
∵∠CBE=∠ECH(都是∠BCE的余角)
∴Rt△BCE∽Rt△CEH
∴CH=4EC/5=24/5
EH=3EC/5=18/5
DH=DC-CH=26/5
∴DE=√(DH²+EH²)=2√10

Answer 2

①过点A作AM垂直CD ABCM为矩形，AM=BC=10，BA=CM=5，tan∠ADC=AM/DM=2，则DM=5，所以CD=DM+CM=10。 ②等腰三角形，CD=BC=10，由此可证出△CDE≌△CBF(SAS)∴CE=CF ③

Answer 3

1 10， 2 等腰 3 3