Question

线性代数非齐次线性方程组的题

设A为m*n矩阵，B为m*1矩阵，证明：方程组Ax=B有解的充要条件为（A的转置）y=0的任一解向量y0都是（B的转置）y=0的解向量
向量空间还没怎么学，所以不要用空间来证可以吗

Answer 1

证明: 方程组Ax=B有解
<=> r(A)=r(A,B)
<=> r(A^T) = r(A^T; B^T)
--(A^T; B^T)是上下两块的矩阵
<=> B^T 可由 A^T 的行向量组线性表示
<=> A^Ty=0 与 (A^T; B^T)y=0 同解
<=> A^Ty=0的任一解向量y0都是B^Ty=0的解向量.

也可以这样考虑:
方程组Ax=B有解
<=>B可由A的列向量组a1,...,an线性表示
<=>B^T可由A^T的行向量组a1^T,...,an^T线性表示
以下同上.

追问

那个“A^Ty=0 与 (A^T; B^T)y=0 同解”是怎么推出来的？

追答

B^T 可由 A^T 的行向量组线性表示
B^T 对应的方程就是一个"多余的方程"
所以 它们同解.
比如:
(1,2),
(3,4),
(4,6)
对应方程组
x1+2x2=0
3x1+4x2=0
4x1+6x2=0
而 (4,6)=(1,2)+(3,4)
对应方程组 (3) = (1)+(2)
(3)-(1)-(2) 方程组(3)可被(1),(2)消成0=0

追问

那逆推的部分，倒数第二行推倒数第三行可以再解释一下吗？
我不太明白

追答

最后一行推倒数第二行
因为 A^Ty=0的任一解向量y0都是B^Ty=0的解向量.
所以 A^Ty=0 的解 是 (A^T; B^T)y=0 的解
显然有 (A^T; B^T)y=0 的解 是 A^Ty=0 的解
所以 它们同解.

倒数第二行推倒数第三行
A^Ty=0 与 (A^T; B^T)y=0 同解
所以它们的基础解系所含向量的个数相同
所以 B^T 可由 A^T 的行向量组线性表示
-- 可以直接推出 r(A^T) = r(A^T; B^T)

追问

不好意思还要问一下，“它们的基础解系所含向量的个数相同
所以 B^T 可由 A^T 的行向量组线性表示”是为什么

追答

AX=0 的基础解系含 n-r(A) 个向量

如果这不知道, 就需看看书了, 这是线性方程组解的结构的基本结论

追问

但是这是直接推出了秩相等，就跳过了“B^T 可由 A^T 的行向量组线性表示”这一步
并不是先推出 B^T 可由 A^T 的行向量组线性表示，再推出秩相等啊
我想问的是可以由“它们的基础解系所含向量的个数相同”
直接推出“ B^T 可由 A^T 的行向量组线性表示”吗？
谢谢了

追答

哦 是这个意思哈
那就这样说吧:
因为 A^Ty=0 与 (A^T; B^T)y=0 同解
所以, A^T 多出来行 B^T 对应的方程 B^Ty=0 就是一个"多余"方程
也就是说, 这个方程, 可由其余方程化成 0=0 恒等的平凡方程
对应的行向量, 就可由其余行向量线性表示
所以 B^T 可由 A^T 的行向量组线性表示

若还不明白,就直接推出 r(A^T) = r(A^T; B^T) 好了, 题目的证明也是完整的.

Answer 2

Ax=B有解=>B在A的列空间里

A^Ty=0说明y在A的列空间的正交补中，如果B^Ty=0说明B在A的列空间里

两个条件是互推的。

追问

还没学到列空间...能不用空间来做吗？