Question

数学题！！！ 几何——圆

已知如图，AF为三角形ABC的角平分线，以BC为直径的圆与边AB交与点D，点E为弧BD的中点，连接CE交AB于H，AH=AC
（1）求证：AC于圆O相切
（2）若AC=6 AB=10 求EC的长

Answer 1

（1）

证明：连接BE，

∵BC为直径∴∠E=90°，

∴∠EBH+∠EHB=90°，

∵AH=AC，AF为△ABC的角平分线，

∴∠AHC=∠ACH，

∵∠AHC=∠EHB，

∴∠EHB=∠ACH，

∵点E为弧BD的中点，

∴∠ECB=∠DBE，

∴∠ECB+∠ACH=90°，

∴AC是⊙O的切线；

（2）

∵在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，

∴AB=10．

又∵∠ACH=∠AHC，

∴AH=AC=6．

∴BH=AB-AH=10-6=4

∵∠EBH=∠ECB，∠BEH=∠CEB=90°

∴△EBH∽△ECB

∴EB/EC=BH/CB=4/8=1/2

∴设EB=X  EC=2X

∴在RT△BEC中，BE² +EC² =BC² 

∴X² +4X² =64

         5X² =64

           X=（8√5）/5

EC=（8√5）/5

Answer 2

(1)、连接CD,，∵BC是直径，∴∠HDC=90°，∠DHC+∠DCH=90°，①
∵AH=AC，∴∠DHC=∠ACH，②
∵E是BD弧的中点，∴∠DCH=∠BCH，③
将②、③代入①得∠ACH+∠BCH=∠ACB=90°，
∴AC是⊙O的切线，且C是切点。
(2)、∵△ABC是直角三角形，AC=6，AB=10，∴BC=8，
∵AF是角平分线，∴FB/FC=AB/AC=10/6=5/3，
FC=BC*3/8=8*3/8=3，
AF=√(FC²+AC²)=√（3²+6²）=3√5，
又∵AH=AC，∴AF⊥HC，∠BCE=∠FAC，
连接BE,,得rt△BCE∽rt△FAC，EC/AC=BC/AF，
∴EC=AC*BC/AF=6×8/3√5=16√5/5。

Answer 3

连接CD
∵E是中点
∴∠BCE=∠DCE
∵AC=AH
∴∠AHC=∠ACH
∴∠ACD=∠ABC
∵BC是直径
∴∠BDC=90°
∴∠ACB=90°
∴AC是圆O切线
(2)延长与延长线交于点M
BC²=AB²-AC²
BC=8

CD=(ACxBC)÷AB
CD=4.8

可证△BCE≌△MCE
则BC=MC BE=ME

BD²=BC²-CD²
BD=6.4

DM=BC-CD=3.2

BE=BM/2=(8√3)/5

CE²=BC²-BE²
CE=(4√22)/5