Question

一道有趣概率题，实在不知道怎么做，求求各位大神帮帮忙

有（可数）无穷多个盒子，第n个盒中装有1个白球，n个黑球（n = 1; 2;


）。从第一
个盒子开始，每次任取一球放入下一个盒子。问：（1）在第n个盒子中取到的是白球
的概率；（2）如果规定游戏规则是取到白球为止，令X为取球的次数，求X的概率分
布以及EX。

Answer 1

(1)第n个盒子中有1个白球,总共有n+1个球,所以取得白球的概率是1/(n+1)
(2)第1个盒子取得白球概率是p(1)=1/2=1/(1*2)
第2个盒子取得白球的概率是p(2)=[1-1/2]/(2+1)=1/6=1/(2*3)
第3个盒子取得白球的概率是p(3)=[1-1/2-1/6]/(3+1)=1/12=1/(3*4)
....由数学归纳法可得p(n)=1/(n*(n+1)) ……这个是概率分布
Ex=1*p(1)+2*p(2)+3*p(3)+...+n*p(n)+..=1/2+1/3+1/4+...+1/(n+1)
由定积分的定义∫[2,n+1]dx/x<Ex<∫[1,n]dx/x,即ln(n+1)-ln2<Ex<lnn
n充分大时,有:Ex=lnn-γ,γ是欧拉常数,γ=0.57721566490153286060651209...

追问

n-1个盒子里有球放到n个盒子啊，怎么能这样算？

追答

n-1个盒子里有球放到n个盒子?这句话什么意思

追问

根据题目意思要从第n-1个盒子里面取一个球到第n个盒子

追答

额,不好意思哈...题目没看清楚,我重新回答下:
(1)第1个盒子取到白球的概率f(1)=1/2
第2个盒子取到白球的概率是f(2)=f(1)*2/4+(1-f(2))*1/4=3/8
第3个盒子取到白球的概率是f(3)=f(2)*2/5+(1-f(2))*1/5=11/40
...第n个盒子取到白球的概率是f(n)=f(n-1)*2/(n+2)+(1-f(n-1))*1/(n+2)=[1+f(n-1)]/(n+2)
所以(n+2)f(n)=f(n-1)+1,
所以(n+2)!*f(n)=(n+1)!f(n-1)+(n+1)!
所以(n+1)!*f(n-1)=n!f(n-2)+n!
...
所以4!*f(2)=3!f(1)+3!
相加得:(n+2)!f(n)=3!f(1)+3!+4!+...+(n+1)!,所以f(n)=[3+3!+4!+...+(n+1)!]/(n+2)!
(2)第一次取到p(1)=1/2,第二次取到p(2)=[1-p(1)]*1/4=1/8,
第三次取到p(3)=[1-p(1)-p(2)]*1/5=3/40=p(2)*3/5
第四次取到p(4)=[1-p(1)-p(2)-p(3)]*1/6=1/20=p(3)*4/6
...第n次取到p(n)=p(n-1)*n/(n+2)=p(n-2)*(n-1)/(n+1) *n/(n+2)
=...p(2)*3*4/(n+1)(n+2)=3/2(n+1)(n+2) n>1 ........这个是概率分布
Ex=p(1)+2p(2)+3p(3)+...+np(n)+...=1/2+(3/2){2/(3*4)+3/(4*5)+4/(5*6)+...}
=1/2+(3/2){1/4+1/5+1/6+....}-(3/2){1/(3*4)+1/(4*5)+1/(5*6)+...}
=1/2+(3/2){1/4+1/5+1/6+....}-(3/2)(1/3-1/4+1/4-1/5+...)
=1/2+(3/2){1/4+1/5+1/6+....}-(3/2)*(1/3)
=(3/2){1/4+1/5+1/6+...}
由定积分定义n→∞时,1/4+1/5+1/6+..=lnn-1/2-1/3-γ,
γ是欧拉常数,γ=0.57721566490153286060651209...
所以Ex=(3/2)(lnn-1/2-1/3-γ)