Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB‖DC,∠DAB=90°,问题请看下面

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB‖DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=1/2,AB=1,E、M分别是边PD、PC的中点
1.求证：AE⊥面PCD
2.在线段AB上求一点N使得MN‖面PDA

Answer 1

1.∵PA⊥面ABCD
∴PA⊥CD
又∠DAB=90°,AB∥DC
∴CD⊥AD
∴CD⊥面PAD
又AE∈面PAD
∴CD⊥AE
又△PAD是等腰直角三角形，点E是PD中点
∴AE⊥PD
∴AE⊥面PCD
2.作AN=1/4,则MN∥面PDA
∵EM是△PCD的中位线
∴EM=DC/2=1/4，且EM∥DC∥AN
∴四边形ANME是平行四边形(无需证明是矩形)
∴MN∥AE
∴MN∥面PDA

Answer 2

1。
证明：∵四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB‖DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且

PA=AD=DC=1/2，E是边PD的中点
∴CD⊥AD，CD⊥PA 而且AE是等腰直角三角形斜边PD上的中线
从而有 CD⊥平面PAD，而且AE⊥PD ①
则 CD⊥AE ②
又CD，PD是面PCD内的交线 ③
由①②③得到 AE⊥面PCD(如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这

条直线垂直于这个平面。)

2。
解：取DC中点N，连接MN①
又已知 M是边PC的中点②
由①②得 MN是△PCD中位线,
从而 MN//PD ③
又 PD位于面PDA内④
∴由③④得 MN//面PDA(平面外一直线与平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行

)
因此，AB的中点即为所求的点N。