Question

三角函数

求 tan² 1° + tan² 2°+ tan² 3°+ ...+ tan² 89° = ？
答案是15931 / 3，即是5310又三分之一
没可能是1吧，光是tan² 89°已经等于3282多了

Answer 1

这是我在百度里找到的一份答案，方法很好！希望帮到你。

cosnx+isinnx = (cosx+isinx)^n = (cosx)^n+C(n,1)(cosx)^{n-1}(isinx)+...+(isinx)^n
比较虚部得到
sinnx = C(n,1)(cosx)^{n-1}(sinx)-C(n,3)(cosx)^{n-3}(sinx)^3+...
取n=2m=180, x=1°,2°, ..., 89°代入，左边总是零，两边同除以cosx(sinx)^{n-1}，并令t=(cotx)^2得到
C(2m,1)t^{m-1}-C(2m,3)t^{m-3}+...=0
也就是说tan²1°, tan²2°, ..., tan²89°恰好是上述关于t的89次多项式的根，利用Vieta定理就得到其和为C(180,3)/C(180,1)=15931/3

Answer 2

提供一种思路
每一项统一加上1
变化为1/cos^2(x)……
第一项与最后一项分别是1/cos^2(1)和1/sin^2(1) 通分变为1/cos^2(1)sin^2(1)
再换为4/sin^2(2) 二倍角公式
接着按以上方法第一项和最后一项分组处理

最后会只剩下45度的那项，前面会有个系数

你算算吧，这只是思路

Answer 3

分析：先根据诱导公式将tan89°化为cot1°进而可得到tan89°，然后根据正余切的关系可得到tan1°tan89°=1，同理都可以得到tan2°tan88°=1，…，tan44°tan46°=1，再由tan45°=1可确定最后答案．解答：解：∵tan89°=cot（90°-89°）=cot1°=1tan1°
所以tan1°tan89°=1
同理
tan2°tan88°=1
…
tan44°tan46°=1
tan45°=1
所以原式 tan1°•tan2°•tan3°…tan89°=1
所以答案就是1.

追问

是加啊！
tan² 1° + tan² 2°+ tan² 3°+ ...+ tan² 89°
不是tan² 1° * tan² 2° * tan² 3°* ...* tan² 89°

Answer 4

答案是对的！a=(tan(89*pi/180))^2

a =

3.2821e+003

>> a=(tan(88*pi/180))^2

a =

820.0350

>> a=(tan(87*pi/180))^2

a =

364.0898

>> a=(tan(86*pi/180))^2

a =

204.5091
虽然第一个很大，但第二第三个就很小了，答案应该没有问题，应该可以用matlab验证。至于怎么算还不太清楚

追问

呵呵，你不如告诉我答案是Σ(k=1→89) tan²(k°)吧~~
最后答案是一个准确数值，要化简的

Answer 5

tanxtan（90°-x）=sinx/cosx×sin(90°-x）/cos(90°-x）=sinx/cosx×cosx/sinx=1
所以tan²x+tan²（90°-x）=（tanx+tan（90°-x））²-2tanxtan（90°-x）=（tanx+tan（90°-x））²-2
tan²1+tan²2+tan²3+……+tan²89
=（tan²1+tan²89）+（tan²2+tan²88）+……+（tan²44+tan²46）+tan45
=（tan1+tan89)²-2+（tan2+tan88）²-2+……+（tan44+tan46）²-2+tan45
=（tan1+tan89)²+（tan2+tan88）²+……+（tan44+tan46）²-2×44+1
=（tan1+tan89)²+（tan2+tan88）²+……+（tan44+tan46）²-88+1
=（tan1+tan89)²+（tan2+tan88）²+……+（tan44+tan46）²-87
=（tan1+1/tan1)²+（tan2+1/tan2)²+……+（tan44+1/tan44)²-87