Question

若等腰梯形ABCD的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为60°，则该等腰梯形的面积为

Answer 1

设AB为上底，CD为下底，AC与BD相交于O，作AE∥BD，交CD延长线于E，作AF⊥CD，交CD于F
ABCD为等腰梯形
AC＝BD，OA＝OB，∠OAB＝∠OBA，∠ODC＝∠OCD
AE∥BD，AB∥CD
平行四边形ABDE
∠E＝∠ABD，ED＝AB
EC＝ED+CD＝AB+CD＝4
∠AOD＝∠OAB+∠OBA，∠AOD＝60°
2∠ABD＝60°
∠ABD＝30°
∠E＝30°
AE＝AC，AF⊥CD，
EF＝FC＝EC/2＝4/2＝2
AF/EF＝tan30＝1/√3
AF＝EF/√3＝2/√3
SABCD＝（AB+CD）×AF/2＝4×AF/2＝2AF＝4/√3＝4√3/3

Answer 2

设上底为a，下底为a+2*b，则a+b=2
高为h，画图，知对角线与下底的夹角为30°，h/(a+b)=tan30°,解得h=2*√3/3
则等腰梯形面积为4*h/2=4*√3/3

Answer 3

设AB为上底，CD为下底，AC与BD相交于O，作AE∥BD，交CD延长线于E，作AF⊥CD，交CD于F
ABCD为等腰梯形
AC＝BD，OA＝OB，∠OAB＝∠OBA，∠ODC＝∠OCD
AE∥BD，AB∥CD
平行四边形ABDE
∠E＝∠ABD，ED＝AB
EC＝ED+CD＝AB+CD＝4
∠AOD＝∠OAB+∠OBA，∠AOD＝60°
2∠ABD＝60°
∠ABD＝30°
∠E＝30°
AE＝AC，AF⊥CD，
EF＝FC＝EC/2＝4/2＝2
AF/EF＝tan30＝1/√3
AF＝EF/√3＝2/√3
SABCD＝（AB+CD）×AF/2＝4×AF/2＝2AF＝4/√3＝4√3/3

Answer 4

4/根号3