Question

如图，抛物线y=ax²-2ax-3与x轴交于点A,B（A点在B点左侧），与y轴交于点C，且OB=OC

(1)求点A，B，c坐标
(2)连接BC，在BC下方的抛物线y=ax²-2ax-3上是否存在点D，使△BCD的面积最大？若存在，请求出△BCD的最大面积；若不存在，请说明理由
(3）在抛物线y=ax²-2ax-3上求出点Q的坐标，使以B，C，Q三点为顶点的三角形是直角三角形。
请求各位帮忙解析下，写出详细具体的过程，谢谢了。

Answer 1

解：(1)y=a(x-1)^2-a^2-3，所以抛物线的对称轴是x=1，带入x=0解得C(0,-3)
∵OB=OC
∴B(-3,0)或(3,0)
∵A点在B点左侧
∴若B(-3,0)，则对称轴一定不是x=1
∴所以B(3,0)
∴抛物线过(3,0)点，带入(3,0)点解得a=1
所以抛物线解析式为y=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)
所以A(-1,0)
答：A(-1,0)，B(3,0)，C(0-3)

(2)存在
△BCD的底BC已经确定，且BC=3√2，所以△BCD在BC边上的高越大，S△BCD就越大
过D点做BC的平行线l，高就等于直线l到直线BC的距离
距离最大时，l与抛物线相切，并且切点为D
BC的解析式为：y=x-3
∵BC∥直线l
∴设直线l的解析式为：y=x+m
则l与抛物线的交点：x^2-2x-3=x+m
x^2-3x-m-3=0
此方程△=0时，解出的x就是切点D的横坐标
当△=0时，x=3/2，m=-21/4
所以使△BCD的面积最大得D点得坐标为(3/2,-15/4)
高h=(-3-m)/√2=9√2/8
∴S△BCDmax=BC·h/2=27/8

(3)平面直角坐标系中两直线垂直的性质：两直线的斜率乘积为-1（斜率是指y=kx+b中的k，当直线垂直于x轴时，斜率不存在）
因为Q在抛物线上
所以设Q(x,x^2-2x-3)
kBC=1
kQC=(yQ-yC)/(xQ-xC)=(x^2-2x)/x=x-2
kBQ=(yQ-yB)/(xQ-xB)=(x^2-2x-3)/(x-3)=x+1
分类讨论：
当QC⊥QB时：
kQC·kQB=-1
(x-2)(x+1)=-1
解得x=(1-√5)/2或(1+√5)/2
所以Q1((1-√5)/2,(√5-5)/2)，Q2((1+√5)/2,-(5+√5)/2)

当BC⊥CQ时：
kBC·kCQ=-1
解得x=1
所以Q3(1,-4)

当BC⊥BQ时
kBC·kBQ=-1
解得x=-2
所以Q4(-2,5)

综上，Q有4个位置符合题意：
Q1((1-√5)/2,(√5-5)/2)
Q2((1+√5)/2,-(5+√5)/2)
Q3(1,-4)
Q4(-2,5)

Answer 2

fgh