Question

已知抛物线y=-x^2 ;－（m－4）x＋3（m－1）与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点。（1）、求m取值范围

（2）、若m<0，直线y=kx-1经过点A，与y轴交与点D，且AD×BD=5倍根号2，求抛物线解析式。

Answer 1

解：(1)由于抛物线与x轴交于A、B两点，所以△>0
即：(m-4)^2+12(m-1)>0
m^2+4m+4>0
(m+2)^2>0
解得m≠-2
m≠-2即为所求

(2)由题易得D(0,-1)
设A(a,0),B(b,0)
则由两点间距离公式得：AD=√(a^2+1)，BD√(b^2+1)
所以AD·BD=√[(a^2+1)(b^2+1)]=5√2
即(a^2+1)(b^2+1)=50
a^2·b^2+a^2+b^2=49
(ab)^2+(a+b)^2-2ab=49
因为A和B是抛物线与x轴的交点
所以x=a和x=b是-x^2 ;－（m－4）x＋3（m－1）=0的两个解
由韦达定理得：ab=3(1-m)，a+b=4-m
带入得：[3(1-m)]^2+(4-m)^2-6(1-m)=49
化简得m^2-2m-3=0
(m+1)(m-3)=0
解得m=-1或3，因为m<0，故舍去3
所以m=-1
所以抛物线的解析式为y=-x^2+5x-6

这种题要求熟练运用韦达定理，对未知数进行代换，简化计算。