Question

已知函数f(x)=x^3-ax-1,若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围

已知函数f(x)=x^3-ax-1,
(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围
(2)是否存在实数a，使f（x）在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由。

第二问解出来f`(x)=3x^2-a
由题意可以知道：f`(x)在（-1，1）上小于等于0
故可以转化为：3x^2-a<=0,x的取值范围：（－1，1）时，a的取值
a>=3x^2,故a大于等于3x^2的最大值3
所以a的范围是：a>=3

但是答案上要检验当a=3时在(-1,1)上f`(x)<0是减函数
为什么要检验?谢谢

Answer 1

当a=3时，无论x在(-1,1)内取何值，f'(x)=3x^2-3都是小于0的，没有小于或等于0的可能，函数一定单调递减。所以实际上是不用检验的。

Answer 2

f(x)=x^3-ax-1
f'(x)=3x^2-a
单调递增，必有
f'(x)>0
即
3x^2-a>0 恒成立
而 x^2>0
所以 -a>0，即 a<0 时
3x^2-a>0 恒成立
也就是说在 x<0时，f(x)在R上单调递增
即 a∈(-∞,0)