Question

已知函数f（x）对一切x，y∈R，都有f （x+y）=f（x）+f（y）。 （1）若f（-3）=2，求f（12）的值。

Answer 1

令x=y=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0),推出f(0)=0;
所以f(x-x)=f(0)=0,又f(x-x)=f(x)+f(-x),于是有
f(x)+f(-x)=0，有f(x)=-f(-x).
因为f（-3）=2，所以f(3)=-f(-3)=-2;
f(12)=f(6+6)=f(6)+f(2)=2f(6)=
2[f(3+3)]=2[f(3)+f(3)]=4f(3)=-8

Answer 2

令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0)
即f(0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0

令y=-x，得f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0
所以f(-x)=-f(x)，即f（x）是奇函数
f(3）=-f(-3)=-2
f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)=f(3)+f(3)+f(3)+f(3)=4f(3)=-8

Answer 3

令x=y, f(2x)=2f(x)
令x=y=0, f(0)=2f(0), f(0)=0
令x=-y, f(0)=f(x)+f(-x)=0, 因此f(x)为奇函数
所以：f(12)=f(2*2*3)=2f(6)=4f(3)=-4f(-3)=-4*2=-8

Answer 4

因为f （x+y）=f（x）+f（y）
当 y=0 时，有f （x）=f（x）+f（0）
所以f（0）= 0；
因为f（-3）=2，所以f （-6）=f （-3）+ f（-3）=4；
f（-12）=f（-6）+f（-6）=8
又因为f（-12）+ f（12）=f （0）=0
所以f（12）= -8