Question

棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN到平面ACD1的距离为

RT

Answer 1

连结C1B、AD1，
∵MN是△B1C1B的中位线，
∴MN//BC1，
而∵C1D1//=AB，
∴四边形ABC1D1是平行四边形，
∴BC1//AD1，
∴MN//AD1，
∴MN//平面CAD1，
∴MN上任一点至平面CAD1的距离就是MN至平面CAD1的距离，
连结底正方形对角线AC、BD，交于O，连结MO、D1O，
∵MC=MA=√5/2，
O为AC中点，
∴MO⊥AC，
MO=√（BM^2+BO^2)=√（1/4+1/2）=√3/2，
OD=√（1/2+1）=√6/2，
MD=√（B1M^2+B1D1^2)=√（1/4+2）=3/2，
MO^2+OD1^2=9/4,
MD1^2=9/4,
∴△MOD1是RT△，
∴MO⊥OD1，
∵OD1∩AC=O，
∴MO⊥平面CAD1，
MO是M点至平面CAD1的距离，
MO=√3/2，
∴直线MN到平面ACD1的距离为√3/2。