Question

在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．

（1）△ABC是等边三角形；
（2） AE=13CE．

Answer 1

考点：等边三角形的判定；圆周角定理．

专题：证明题．

分析：（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥DE，从而得到平行线，得到∠ODB=∠A，∠ODB=∠B，则∠A=∠B，得到AC=BC，从而证明该三角形是等边三角形；

（2）再根据在圆内直径所对的角是直角这一性质，推出30°的直角三角形，根据30°所对的直角边是斜边的一半即可证明．

解答：证明：（1）连接OD，得OD∥AC；

∴∠BDO=∠A；

又OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB；

∴∠OBD=∠A；

∴BC=AC；

又∵AB=AC，

∴△ABC是等边三角形；

（2）如上图，连接CD，则CD⊥AB；

∴D是AB中点；

∵AE= 12AD= 14AB，

∴EC=3AE；

∴AE= 13CE．

点评：本题中做好辅助线是解题的关键，连接过切点的半径是圆中常见的辅助线作法之一．另外还要掌握等边三角形的判定和性质以及30°的直角三角形的性质．

Answer 2

证明：（1）连接OD。
∵DE是⊙O切线，∴OD⊥DE
∵DE⊥AC，∴OD∥AC
∴∠BDO=∠A
⊙O中OB=OD，∴∠BDO=∠B，∴∠A=∠B
等腰△ABC中，∠B=∠C，∴∠A=∠B=∠C
∴△ABC是正三角形
（2）OD=OB=½BC=½AB，OB∥AC，∴OD是△ABC的中位线
∴AD=BD
∵∠A=60°，∴AE=½AD=¼AB=¼AC
又AC=AE+CE，∴AE=1/3CE