Question

若数列通项公式为an=1/n^2,求（an）前n项和Tn的取值范围？

Answer 1

解：1/ n(n+1)＜an＜1/ n（n-1） （n＞1）
∴1+1/ （2×3）+1/ （3×4）+……+1/ n(n+1)＜Tn
而不等式左边=1+1/2-1/3+1/3-1/4+ ……+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)
∴1-1/（n+1）＜Tn
同理，Tn＜1-1/(n-1)
∴1-1/(n-1)<Tn<1-1/(n+1)

事实上，用积分知识可得，Tn=1-1/n+o（1/n）
其中，o（1/n）表示一个函数，且当n→∞时，这个函数除以（1/n）的商趋于0，并称之为1/n 的高阶无穷小

Answer 2

只能通过裂项给出大致的范围
[1,2)
但这样的范围是很不精确的
因为在这个范围内有很多数并不是Tn能取到的
范围的实际上限应取极限而得到
况且Tn的取值是离散的而决不是连续的

Answer 3

tip:
1/n(n+1)<an=1/n^2<1/n(n-1)
that is: 1/n-1/(n+1)<an<1/(n-1)-1/n // remmeber don't forget the case of n=1