Question

高中数学 椭圆方程

在面积为1的三角形PMN中，tanPMN=1/2,tanMNP=-2,建立适当坐标系，求以M,N为焦点，且过点P的椭圆方程。

Answer 1

不妨设 M,N都在x轴上，关于原点对称
tan(M+N)=(tanM+tanN)/(1-tanMtanN)=(1/2-2)/(1+1)=-3/4
所以 tanP=3/4=2tan(P/2)/【1-tan²(P/2)】
tan(p/2)=-3或tan(P/2)=1/3
因为(P/2)是锐角
tan(P/2)=1/3
焦点三角形面积公式 b²tan(P/2)=1
b²=3
设三角形高为h
[h/tanM-h/(-tanN)]*h/2=1
3/4h²=1
h²=4/3
2c=h/tanM-h/(-tanN)=h*(3/2)
4c²=3
c²=3/4
a²=b²+c²=15/4
方程：x²/(15/4)+y²/3=1

Answer 2

以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴，建立直角坐标系.
则不妨设N(√5/2，0)，M(-√5/2，0)，
∴NP： y= -0.5x+（√5/4），
MP： y=2x+(4/√5），
∴P(-1/（√5），2/（√5）)，
设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1，(a>b>0)，
把P点坐标代人，得20a²+5b²=25a²b²，
又∵a²=b²+c²，c=√5/2，
∴a²=b²+(5/4)，
∴b²=(（√65）-1)/8，
a²=(（√65）+9)/8，
即椭圆方程为
8x²/(（√65）+9) +8y²/(（√65）-1)=1.

本题中，若建系的方法不同，则得到的方程可能不同.

Answer 3

大致内容就在图上了，能看懂的

Answer 4

以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴，建立直角坐标系.
则不妨设N(√5/2，0)，M(-√5/2，0)，
∴NP： y= -0.5x+（√5/4），
MP： y=2x+(4/√5），
∴P(-1/（√5），2/（√5）)，
设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1，(a>b>0)，
把P点坐标代人，得20a²+5b²=25a²b²，
又∵a²=b²+c²，c=√5/2，
∴a²=b²+(5/4)，
∴b²=(（√65）-1)/8，
a²=(（√65）+9)/8，
即椭圆方程为
8x²/(（√65）+9) +8y²/(（√65）-1)=1