Question

在正方体ABCD-A'B'C'D'中P、Q分别为A'B'和BB'的中点,求AP与BD所成角，求AC与AP所成角的余弦值

要具体过程

Answer 1

1、取D'C'中点M，连结DM'、BM，PM，设正方体棱长为1个单位，
∵PM//A'D',PM=A'D'=1,
A'D'//AD,A'D'=AD,
∴PM//AD，PM=AD，
∴四边形 APMD是平行四边形，
∴DM//AP，DM和BD所成角就是异面直线AP和BD所成角，
DM=√5/2，
BD=√2，
△MC'B是RT△，根据勾股定理，
BM=√（BC'^2+MC'^2)=√（2+1/4）=3/2，
在△BDM中，根据余弦定理，
cos<MDB=(DM^2+BD^2-BM^2)/(2*DM*BD)=(5/4+2-9/4)/(2*√2*√5/2）=√10/10，
∴AP与BD所成角为arccos(√10/10）。
2、连结PC，MC，
AC=√2，
PM⊥D'C',,
∵面A'B'C'D'⊥平面DCC'D',
∴PM⊥平面DCC'D',
PM⊥CM，
PC=√（MC^2+MC'^2)=√（5/4+1）=3/2，
在△APC中，余弦定理，
cos<PAC=(AP*2+AC^2-PC^2)/(2*AP*AC)=(5/4+2-9/4)/(2*√2*√5/2）=1/（√10）=√10/10，
∴AC与AP所成角的余弦值为√10/10。

追问

为什么△MC'B是RT△？

追答

∵平面ABCD⊥平面DCC'D'，BC⊥DC，
∴BC⊥平面DCC'D',
∵MC∈平面DCC'D'，
∴BC⊥MC，
∴<BCM=90°，
∴△BCM是RT△。