Question

已知函数f(x)=（2^x-a)²+（2^-x+a）²,x∈[-1,1]

已知函数f(x)=（2^x-a)²+（2^-x+a）²,x∈[-1,1]
（1）求f(x)的最小值（用a表示）；（2）关于x的方程f(x)=2a²有解，求实数a的取值范围

Answer 1

1) 令t=2^x, 则1/2=<t<=2,
令p=t-1/t, 则-1.5=<p<=1.5
f(x)=(t-a)^2+(1/t+a)^2=t^2+1/t^2-2at+2a/t+2a^2=(t-1/t)^2-2a(t-1/t)+2a^2+2=p^2-2ap+2a^2+2=(p-a)^2+a^2+2
若-1.5=<a<=1.5, 则最小值为p=a时，fmin=a^2+2
若a>1.5, 则fmin为p=1.5时，fmin=4.25-3a+2a^2
若a<-1.5,则fmin为p=-1.5时，fmin=4.25+3a+2a^2
2）f(x)=p^2-2ap+2a^2+2=2a^2
即p^2-2ap+2=0有位地[-1.5,1.5]的解
p显然不为0，所以有：a=(p^2+2)/(2p)=(p+2/p)/2
|p+2/p|>=2√2, , 当|p|=√2时取等号
a的最大值在端点，当p=1.5, a=3/2+4/3=17/6
因此由对称性得a的范围：[-17/6, -2√2]U[2√(2, 17/6]