Question

如图:在三棱锥S-ABC中,SC垂直于ABC,点P,M分别是SC和SB的中点

如图:在三棱锥S-ABC中,SC⊥ABC,点P,M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，
∠ACB=90,直线AM与直线SC所成的角为60度
（1）求二面角M-AB-C的平面角的正切值
（2）求AP和CM所成角的余弦值

Answer 1

1、PM=AC=1，

PM是△SCB的中位线，

BC=2PM=2，

△BCA是RT△，

根据勾股定理，AB=√5，

在平面SAB上作SE⊥AB，垂足E，连结CE，

根据三垂线定理，CE⊥AB，

〈SEC是二面角M-AB-C的平面角，

S△ABC=CE*AB/2=AC*BC/2，

CE=2*1/√5=2√5/5，

在平面SBC上作MD⊥BC，垂足D，连结AD，

∵M是SB中点，

∴MF是△SBC的中位线，

∴MD//SC，

D是BC中点，

CD=1，

AD=√2，

〈AMD是MA和SC所成角，为60°，

AD/MD=tan60°，

MD=√2/√3=√6/3，

SC=2MD=2√6/3，

△SCE是RT△，

tan<SEC=SC/CE=(2√6/3)/(2√5/5)=√30/3。

2、PA=√PC^2+AC^2)=√15/3，

作PN//CM，

SB=√SC^2+BC^2)=2√15/3，

CM=SB/2=√15/3，

PN=CM/2=√15/6，

作NF⊥BC，连结AF，

NF=√6/2，AF=√5/2，

CN=√（NF^2+CF^2）=√11/2，

在△APN中根据余弦定理，

cos<APN=(PN^2+AP^2-AN^2)/(2*PN*PA)

=（15/36+15/9-11/4）/[2*（√15/3）*（√15/6）

=-2/5,

∴AP和CM所成角的余弦值为-2/5。