Question

根号下（X+1） -1和X/2是等价无穷小吗 X趋0 怎么证明

Answer 1

lim<x→0> [√(x+1) -1 ] / (x/2)
= lim<x→0> 2 [√(x+1) -1][√(x+1) +1] / x[√(x+1) +1]

= lim<x→0> 2 / [√(x+1) +1]
= 1

故 √(x+1) - 1 和 x/2 是等价无穷小。

证明:根号(1+x)-1和x/2,是x趋向0地处等价的无穷小.有个问题哈.如果我要证明的话,是不是要除一下。如滚

然后分母里面不能有x。

是
相除,极掘穗限是1就行

相除
=lim2[√(x+1)-1]/x
上下乘√(x+1)+1

=lim2(x+1-1)/x[√(x+1)+1]
=lim2x/x[√(x+1)+1]

=lim2/[√(x+1)+1]
=2/(1+1)

=1
所以是等价无穷小判橡卜。

Answer 2

你好！

lim<x→0> [√(x+1) -1 ] / (x/2)
= lim<耐闷x→0> 2 [√(x+1) -1][√(x+1) +1] / x[√(x+1) +1]
= lim<x→高亩余0>戚滚 2 / [√(x+1) +1]
= 1
故 √(x+1) - 1 和 x/2 是等价无穷小

追问

这个是不是常用的等价无穷小关系 我的书上常用的等价无穷小上没介绍这个 但是后面的习题又直接用的

追答

这是常用的呀
x→0时，(1+x)^n ~ 1+nx
令n=1/2
√(1+x) ~ 1+ 1/2x
即 √(1+x) - 1 ~ x/2

追问

哦 变形了啊 没发现 非常感谢