求两向量的外积

公式是|a×b|=|a||b|sin<a,b>,那除了这个公式以外还有什么方法可求向量的外积?请以a=(3,-1,1)b=(-3,2,4)为例... 公式是|a×b|=|a||b|sin<a,b>,那除了这个公式以外还有什么方法可求向量的外积?
请以a=(3,-1,1) b=(-3,2,4)为例
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庹甜恬RQ

2021-04-01 · TA获得超过1.3万个赞
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把向量外积定义为:|a ×b| = |a|·|b|·sin.方向根据右手法则确定,就是手掌立在a、b所在平面的向量a上,掌心由a转向b的过程中,大拇指的方向就是外积的方向。
基本信息

定义
把向量外积定义为:
|a × b| = | a|·| b|·sin< a, b>.
方向根据右手法则确定,就是手掌立在 a、 b所在平面的向量 a上,掌心向 b,那么大拇指方向就是垂直于该平面的方向,被规定为外积的方向。
运算
向量外积的代数运算形式为:
| e(i) e(j) e(k)|
a× b=| x(a) y(a) z(a) |
| x(b) y(b) z(b) |
这个行列式,按照第一行展开。 e表示标准单位基。
分配律的几何证明方法很繁琐,大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。
下面给出代数方法。我们假定已经知道了:
1)外积的反对称性:
a× b= - b× a.
这由外积的定义是显然的。
2)内积(即数积、点积)的分配律:
a·( b+ c)= a· b+ a· c,
( a+ b)· c= a· c+ b· c.
这由内积的定义 a· b= | a|·| b|·cos< a, b>;,用投影的方法不难得到证明。
3)混合积的性质:
定义( a× b)· c为向量 a, b, c的混合积,容易证明:
i) ( a× b)· c的绝对值正是以 a, b, c为三条邻棱的平行六面体的体积,其正负号由 a, b, c的定向决定(右手系为正,左手系为负)。
从而就推出:
ii) a·( b×c) =b·( c×a) =c·( a×b)
所以我们可以记 a, b, c的混合积为( a, b, c)
推理
由i)还可以推出:
iii) ( a, b, c)= ( b, c, a)= ( c, a, b)
还有一条结论:
iv) 若一个向量 a同时垂直于三个不共面矢 a1, a2, a3,则a为零向量或高维空间向量。
下面我们就用上面的1)2)3)来证明外积的分配律。
设r为空间任意向量,在 r·[ a×( b + c)]里,交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2),就有
r·[ a×( b+ c)]
= ( r× a)·( b + c)
= ( r× a)· b + ( r× a)· c
= r·( a× b)+ r·( a× c)
= r·( a× b + a× c)
移项,再利用数积分配律,得
r·[ a×( b + c)- ( a× b + a× c)] = 0
这说明向量 a×( b + c)- ( a× b + a× c)垂直于任意一个向量。按3)的iv),这个向量必为零向量,即
a×( b + c)- ( a× b + a× c)= 0
所以有
a×( b + c)= a× b + a× c.
证毕。
三向量的外积
a×( b×c) =( a·c) b-( a·b) c。
富港检测东莞有限公司
2024-12-24 广告
我是这么理解的 向量外积:是把两个向量中的一个向量投影到与另一个向量垂直的方向上。 向量内积:是把两个向量中的一个向量投影到与另一个向量水平的方向上。 可是,无论力矩、洛伦茨等物理概念,只要有方向、有大小的都会用到向量的内外积。。 正弦振动... 点击进入详情页
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lyuzxz
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你的公式只是给出求外积的模的公式,并不是求外积的公式,求外积的公式你只要记住下面的公式就是了.

其中i,j,k是三个单位向量.

行列式按第一行展开就行.

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2011-11-20 · TA获得超过209个赞
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外积的结果是一个向量,|a×b|=|a||b|sin<a,b>*v,v表示的是a×b的方向向量
你既然在问这个问题,必然知道v的方向由右手定则判定,但是我们可以计算出来a×b的具体方向(表达式)
这个就是
令向量u=(i,j,k),其中i、j、k分别表示的是x、y、z轴的方向向量,则
a×b=|(u,a,b)^T|
说实话这可以由外积的分配律得到
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