Question

已知f(x)=xlnx,g(x)=x^3+ax^2-x+2,如果a=1,求y=g(x)的图像过点P(-1,3)的切线方程

Answer 1

因为 a=1，所以 g(x)=x^3+x^2-x+2，
g'(x)=3x^2+2x-1，所以 g(-1)=0。
因为 g(-1)=3，P（-1，3）在曲线上，
所以，所求切线方程为 y=3 。

追问

还有没有其他的可能？

追答

还有一种可能，就是P（0，2）处的切线 y=-x+2。

追问

那么，，如果要写过程的话是直接用设点法求出两个切点再用导数求斜率呢还是需要讨论P是不是切点？

追答

当然是设切点，求导数，得斜率，用两种公式表斜率，求出切点及斜率，写方程。
这个无须讨论，求的坐标如果有已知点，则此点即为切点，如果没有已知点，则此点即使在曲线上，也不是过此点的切线。

追问

那么一条切线可以经过切线上的多个点吗？，，

追答

是啊，就如刚才的切线 y=-x+2 ，即过（0，2），又过（-1，3）这两点都在曲线上，
但（0，2）是切点，（-1，3）不是。以（-1，3）为切点的切线方程是 y=3 。

追问

那为什么不能说（-1,3）也是切点呢，毕竟也是切的阿。。。。。

追答

过（-1，3）的切线有两条，一条方程是 y=3，另一条是 y=-x+2。
只有 y=3 是切于（-1，3）的，y=-x+2仅仅是过（-1，3）这一点，这条线在（-1，3）处与曲线并不相切，这条线与曲线切于点（0，2）。

曲线上任一点处的切线只有唯一一条（如果有的话）。

Answer 2

先求g（x）的导数g'（x）=3x^2-2ax-1，又a=1，g'（x）=3x^2-2x-1，g'（-1）=3+2-1=4
即直线的斜率为4，又经过P(-1,3)，切线l；y-3=4（x+1），所以切线方程为y=4x+7