Question

数学真题 设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵

设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵，记P1=[1 0 0]P2=[1 0 0],则A=？
[1 1 0] [0 0 1]
[0 0 1] [0 1 0]
设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵，
记P1=[1 0 0]P2=[1 0 0],则A=？
[1 1 0] [0 0 1]
[0 0 1] [0 1 0]
求具体讲解

Answer 1

P1= [1 0 0] P2=[1 0 0],则A=？
[1 1 0] [0 0 1]
[0 0 1] [0 1 0]
A的第2列加到第1列得矩阵B, 就是AP1=B,
再交换B的第2行与第3行得单位矩阵 就是P2B=E
于是E=P2B=P2AP1,
所以A=p2^(-1)P1^(-1)
而P2^(-1)=P2,
P1^(-1) =[1 0 0 ]
[-1 1 0 ]
[ 0 0 1]
A=p2^(-1)P1^(-1)=
[1 0 0],[1 0 0]
[0 0 1] [-1 1 0]
[0 1 0] [0 0 1]
=[1 0 0]
[0 0 1]
[-1 1 0]

追问

“A的第2列加到第1列得矩阵B, 就是AP1=B”不明白为什么A进行初等变换后得到B就是AP1=B？

追答

一个矩阵A左乘一个初等矩阵P, 就是对A作了一次相应的初等列变换；
一个矩阵A右乘一个初等矩阵P, 就是对A作了一次相应的初等行变换；
例 如
P=[1 0 0]
[0 0 1]
[0 1 0]
是一个初等矩阵，是通过交换单位矩阵的第二行和第三行得到的，或者通过交换单位矩阵的第二三列得到的。
那么运算PA，就相当于交换了A的第二三行，
运算AP就相当于交换了A的第二三列。

在一般的线性代数教材中的矩阵的初等变换部分都有详细的阐述，可以看看教材的.
也可以把它看成是一个定理。

你也可以找一个具体的矩阵乘一下看看效果。

Answer 2

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