Question

如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点D，且BD=8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；

如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点D，且BD=8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为ts（0＜t＜5）．
（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？
（2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM= S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

1,要四边形PQCM是平行四边形，则PM//BC,此时BP=MC ,AP=AM

故:BP+AM=AB   1*t+2*t=10   t=10/3   秒

2，因为PQ∥AC，AB=AC.所以PQ=BP=t

     MC=AC-AM=10-2t

因为PQ∥AC，所以△ABC和△PBQ为相似三角形

PB/AB=BF/BD   BF=4/5*BP=4/5t  FD=BD-BF=8-4/5t

y=1/2*(PQ+MC)*FD

y=1/2*(t+10-2t)(8-4/5t)

y=2/5t2-8t+40

Answer 2

分析：（1）假设PQCM为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边平行，进而得到AP=AM，列出关于t的方程，求出方程的解得到满足题意t的值；
（2）过点P作PE垂直AC．由PQ运动的速度和时间t可知线段BP=t，根据PQ∥AC可得△PBQ∽△ABC，根据相似三角形的形状必然相同可知三角形BPQ也为等腰三角形，即BP=PQ=t，再由证得的相似三角形得底比底等于高比高，用含t的代数式就可以表示出BF，进而得到梯形的高PE=DF=8-t，又点M的运动速度和时间可知点M走过的路程AM=2t，所以梯形的下底CM=10-2t．最后根据梯形的面积公式即可得到y与t的关系式；
（3）根据三角形的面积公式，先求出三角形ABC的面积，又根据S四边形PQCM=916
S△ABC，求出四边形PQCM的面积，从而得到了y的值，代入第二问求出的y与t的解析式中求出t的值即可；
（4）假设存在，则根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可得到MP=MC，过点M作MH垂直AB，由一对公共角的相等和一对直角的相等即可得到△AHM∽△ADB，由相似得到对应边成比例进而用含t的代数式表示出AH和HM的长，再由AP的长减AH的长表示出PH的长，从而在直角三角形PHM中根据勾股定理表示出MP的平方，再由AC的长减AM的长表示出MC的平方，根据两者的相等列出关于t的方程进而求出t的值．

解答：解：（1）假设四边形PQCM是平行四边形，则PM∥QC，
∴AP=AM，即10-t=2t，
解得t=10 3 ，
∴当t=10 3 s时，四边形PQCM是平行四边形；
（2）过P作PE⊥AC，交AC于E，如图所示：
∵PQ∥AC，
∴△PBQ∽△ABC，
∴△PBQ为等腰三角形，PQ=PB=t，
∴BF BD =BP BA ，即BF 8 =t 10 ，
解得BF=4 5 t，
∴FD=BD-BF=8-4 5 t，
又∵MC=AC-AM=10-2t，
∴y=1 2 （PQ+MC）•FD=1 2 （t+10-2t）（8-4 5 t）=2 5 t2-8t+40；
（3）S△ABC=1 2 AC•BD=1 2 ×10×8=40，
当y=9 16 S△ABC=9 16 ×40=45 2 时，
即2 5 t2-8t+40=45 2 ，
解得：t1=5 2 ，t2=35 2 （舍去）；
（4）假设存在某一时刻t，使得M在线段PC的垂直平分线上，则MP=MC，
过M作MH⊥AB，交AB与H，
∵∠A=∠A，∠AHM=∠ADB=90°，
∴△AHM∽△ADB，
∴HM BD =AH AD =AM AB ，又AD= 102-82 =6，
∴HM 8 =AH 6 =2t 10 ，
∴HM=8 5 t，AH=6 5 t，
即HP=10-t-6 5 t=10-11 5 t，
在直角三角形HMP中，MP2=(8 5 t)2+(10-11 5 t)2=37 5 t2-44t+100，
又∵MC2=（10-2t）2=100-40t+4t2，
∵MP2=MC2，
即37 5 t2-44t+100=100-40t+4t2，
解得：t1=20 17 ，t2=0（舍去），
∴t=20 17 s时点M在线段PC的垂直平分线上．

Answer 3

看看吧

Answer 4

自己看看把，只是第4问我不太会，所以就不解答了

Answer 5

1,要四边形PQCM是平行四边形，则PM//BC,此时BP=MC ,AP=AM
故:BP+AM=AB 1*t+2*t=10 t=10/3 秒
2，因为PQ∥AC，AB=AC.所以PQ=BP=t
MC=AC-AM=10-2t
因为PQ∥AC，所以△ABC和△PBQ为相似三角形
PB/AB=BF/BD BF=4/5*BP=4/5t FD=BD-BF=8-4/5t
y=1/2*(PQ+MC)*FD
y=1/2*(t+10-2t)(8-4/5t)
y=2/5t2-8t+40