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设a为实数,函数f(x+a)=(x+a)|x|,x∈R.
设a为实数,函数f(x+a)=(x+a)|x|,x∈R.(1)求f(x)的解析式;(2)若f(1)>2,求a的取值范围;(3)当0≤x≤1时,求f(x)的最大值g(a)....
设a为实数,函数f(x+a)=(x+a)|x|,x∈R.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(1)>2,求a的取值范围;
(3)当0≤x≤1时,求f(x)的最大值g(a). 展开
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(1)>2,求a的取值范围;
(3)当0≤x≤1时,求f(x)的最大值g(a). 展开
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解1: 令 x+a=t 则x=t-a
则 f(t)=t|t-a|
故其解析式为 f(x)=x|x-a|
解2 由题目,有
|1-a|>2
此不等式等价于 1-a>2 或1-a<-2
解得 a<-1 或 a>3
解3. 若 x-a≥0
则 有f(x)=x^2-ax
此时 g(a)=f(1)=1-a
若 x-a<0
则有 f(x)=-x(x-a)=-x^2+ax
此时 g(a)=f(0)=0
则 f(t)=t|t-a|
故其解析式为 f(x)=x|x-a|
解2 由题目,有
|1-a|>2
此不等式等价于 1-a>2 或1-a<-2
解得 a<-1 或 a>3
解3. 若 x-a≥0
则 有f(x)=x^2-ax
此时 g(a)=f(1)=1-a
若 x-a<0
则有 f(x)=-x(x-a)=-x^2+ax
此时 g(a)=f(0)=0
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分析:(1)用换元法求f(x)的解析式(2)解关于a的绝对值不等式;(3)转化函数为分段函数,每一段用二次函数求得最值,两段中取最大的.
解:(1)令x+a=t,
∴x=t-a,
∴f(t)=t|t-a|.
∴f(x)=x|x-a|(x∈R).
(2)∵f(1)>2,
∴|1-a|>2,
∴a-1>2或a-1<-2,
∴a>3或a<-1,
∴a的取值范围是a>3或a<-1.
(3)1.当a≤0时,有f(x)=x(x-a),此时根据图像很容易看出g(a)=f(1)=1-a
2.2>a>1时,有f(x)=-x(x-a),此时抛物线开口向下,所以g(a)=f(a/2)
=a^2/4
3.0<a<x,此时g(a)=f(x)=x(x-a)
解:(1)令x+a=t,
∴x=t-a,
∴f(t)=t|t-a|.
∴f(x)=x|x-a|(x∈R).
(2)∵f(1)>2,
∴|1-a|>2,
∴a-1>2或a-1<-2,
∴a>3或a<-1,
∴a的取值范围是a>3或a<-1.
(3)1.当a≤0时,有f(x)=x(x-a),此时根据图像很容易看出g(a)=f(1)=1-a
2.2>a>1时,有f(x)=-x(x-a),此时抛物线开口向下,所以g(a)=f(a/2)
=a^2/4
3.0<a<x,此时g(a)=f(x)=x(x-a)
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