Question

如图,AB为⊙O的直径,直线MN交⊙O于C、D两点AE⊥MN,BF⊥MN垂足分别为E、F 求证：CE=DF,OE=OF

Answer 1

取CD中点M，连结OM，

∵AE⊥MN，BF⊥MN，

∴AE//BF，且四边形ABEF是直角梯形，

∵CM=MD，

∴OM⊥CD，（弦心距性质），

∴OM//AE//BF，

∵O是AB中点，

∴OM是梯形ABFE的中位线，

∴EM=FM，

∴EM-CM=MF-MD，

∴CE=DF。

∵CO=DO=R，

EC=DF，

∵△OCD是等腰△，

OC=OD，

∴〈OCD=〈ODC，

∴〈OCE=〈ODF，（其补角亦相等），

∴△ECO≌△FDO，（SAS），

∴OE=OF。

Answer 2

证明：
作OG⊥CD于G
则CG=DG
过E点作EN//AB,交GO的延长线于M，交FB的延长线于N
∵AE⊥CD，BF⊥CD，OG⊥CD
∴AE//OG//BF
∴四边形AEMG和OMNB均是平行四边形
∴EM=AO，MN=OB
∵AO=OB
∴EM=MN
∵MG//NF
∴EM/MN=EG/GF
∴EG=GF
∴CE=DF
∵EG=GF，OG⊥EF，即OG是EF的垂直平分线
∴OE=OF

Answer 3

延长BF交圆与G点，连接AC,连接DG,连接BD,连接AG，连接AD，因为∠ACD=∠ABD,∠ABD+∠BAD=90°，∠ACD+∠CAF=90°，所以∠CAF=∠BAD,因为∠BAD=∠BDG,所以∠CAF=∠BDG,因为AE⊥MN,BF⊥MN，所以AE∥BG,所以∠EAB=∠ABG,因为∠GAD=∠GBD,∠GBD+∠ABG+∠BAD=90°，所以∠GAE=90°，所以AG∥CD,因为AE∥GF,所以AE=GF,所以△ACE≌△GFD,所以CE=DF.
因为OC=OD,所以∠OCD=∠ODC,因为OC=OD,∠OCD=∠ODC,CE-DF,所以△OCE≌△ODF,所以OE=OF.希望你能看懂。