Question

已知直线y=-根号3/3x+1和x、y轴交于A、B两点,以线段AB为边在第一象限内作等腰RT△ABC，∠BAC=90°。

且点P（1，a）为坐标系中的一个动点。
1.求三角形ABC的面积
2.证明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数。
3.要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值。

Answer 1

1.解：由题意，知A(根号3,0)，B(0.1)，所以，AB=2，又由△ABC为等腰RT三角形，所以AC=BC=根号2，且AC⊥BC，所以△ABC面积=0.5*AC*BC=1

2.解：作PM⊥OB于M，因为B在y轴上，所以△BOP的面积=0.5*OB*PM=0.5*OB*|xP|=0.5，确实为常数。（试中xP为P点横坐标）

3.解：若△ABC的面积=△ABP的面积，在等式两边同时加上△ABO的面积，
则得到四边形OAPB的面积=四边形OACB的面积=1+根号3/2，我们又观察到四边形OAPB的面积=△BOP的面积+△AOP的面积，而△AOP的面积=0.5*OA*|yP|=(根号3/2)a
那么，有0.5+(根号3/2)a=1+根号3/2，解得a=1+根号3/3