Question

正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于F

（1）求证OE=OF。
（2）对上述命题，若点E在AC的延长线上，如图②所示，AG⊥EB交EB的延长线G，AG的延长线交DB的延长线F，其他条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。（详细过程）

Answer 1

证明：(1)连OG、EF.  ∠AOB=∠AGB=RT∠

(立于公共边同侧的两个三角形，并且这两顶角相等)

∴A、B、G、O四点共圆⇒∠OGC=∠OAB=45°

(圆内接四边形外角等于它的内对角）

又∠EOF=∠FGE=RT∠⇒∠EOF+∠FGE=180°

∴O、F、G、E四点共 圆（对角互补的四边形内接于圆）

∴∠OFE=∠OGE=45°（同弧所对圆周角相等）

∴△OFE是等腰直角三角形，∴OF=OE

(2)OF=OE结论仍然成立

仍然连OG、EF,仍有AGBO和GFEO为圆内接四边形，

∠OGB=∠OAB=45°

∠OFE=∠OGB=45°

具体过程与(1)小题类似。

Answer 2

如图1:正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上的一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足M，AM交BD于点F
（1）求证OE=OF
（2）如图2所示，若点E在AC的延长线上，AM⊥EB的延长线于点M，交DB的延长线于点F，其他条件都不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．
又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，
∴∠MEA=∠AFO．
∴Rt△BOE≌Rt△AOF．
∴OE=OF．
（2）解：OE=OF成立．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠F+∠MBF=90°，
∠E+∠OBE=90°，
又∵∠MBF=∠OBE，
∴∠F=∠E．
∴Rt△BOE≌Rt△AOF．
∴OE=OF．

Answer 3

（1）证明：因为是正方形，对角线AC、BD交于O
所以AC⊥BD，OA=OB，∠BAD=∠ABC
所以∠AOF=∠BOE=90°，∠FAO=∠OBE
所以△AOF和△BOE全等。
所以OE=OF