Question

已知抛物线的顶点是C(0,a)(a>0,a为常数),并经过点(2a,2a),点D(0,2a)

已知抛物线的顶点是C（0，a）（a＞0，a为常数），并经过点（2a，2a），点D（0，2a）为一定点．
（1）求含有常数a的抛物线的解析式；
（2）设点P是抛物线上任意一点，过P作PH丄x轴．垂足是H，求证：PD=PH；
（3）设过原点O的直线l与抛物线在笫一象限相交于A、B两点，若DA=2DB．且S△ABD=4 2．求a的值．

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为y=kx2+a                

            ∵点D（2a，2a）在抛物线上，

            4a2k+a = 2a     ∴k =                      

            ∴抛物线的解析式为y=  x2+a                

       （2）设抛物线上一点P（x，y），过P作PH⊥x轴，PG⊥y轴，在Rt△GDP中，

            由勾股定理得：PD2=DG2+PG2=(y–2a)2+x2 =y2 – 4ay+4a2+x2    

                                                          

           ∵y= x2+a  ∴x2 = 4a ´ (y– a)= 4ay– 4a2     (6分)

           ∴PD 2= y2– 4ay+4a2 +4ay– 4a2= y2 =PH2

           ∴PD = PH 

       （3）过B点BE ⊥ x轴，AF⊥x轴.

            由（2）的结论：BE=DB  AF=DA

            ∵DA=2DB  ∴AF=2BE  ∴AO = 2BO

            ∴B是OA的中点，

            ∴C是OD的中点，

          连结BC

          ∴BC=  =   = BE = DB              

          过B作BR⊥y轴，

          ∵BR⊥CD   ∴CR=DR，OR= a +  =   ，

          ∴B点的纵坐标是，又点B在抛物线上，

          ∴ = x2+a   ∴x2 =2a2

          ∵x>0      ∴x = a

          ∴B (a， )                         

           AO = 2OB， ∴S△ABD=S△OBD = 4

         所以，´2a´a= 4

         ∴a2= 4   ∵a>0  ∴a = 2

Answer 2

：（1）设抛物线的解析式为y=kx2+a

∵点D（2a，2a）在抛物线上，

4a2k+a = 2a ∴k =

∴抛物线的解析式为y= x2+a

（2）设抛物线上一点P（x，y），过P作PH⊥x轴，PG⊥y轴，在Rt△GDP中，

由勾股定理得：PD2=DG2+PG2=(y–2a)2+x2 =y2 – 4ay+4a2+x2

∵y= x2+a ∴x2 = 4a ´ (y– a)= 4ay– 4a2 (6分)

∴PD 2= y2– 4ay+4a2 +4ay– 4a2= y2 =PH2

∴PD = PH

（3）过B点BE ⊥ x轴，AF⊥x轴.

由（2）的结论：BE=DB AF=DA

∵DA=2DB ∴AF=2BE ∴AO = 2BO

∴B是OA的中点，

∴C是OD的中点，

连结BC

∴BC= = = BE = DB

过B作BR⊥y轴，

∵BR⊥CD ∴CR=DR，OR= a + = ，

∴B点的纵坐标是，又点B在抛物线上，

∴ = x2+a ∴x2 =2a2

∵x>0 ∴x = a

∴B (a， )

AO = 2OB， ∴S△ABD=S△OBD = 4

所以，´2a´a= 4

∴a2= 4 ∵a>0 ∴a = 2

Answer 3

http://czsx.cooco.net.cn/testdetail/44041/