Question

已知函数f(x)=-1/3x^3+x^2+3x-3a若x属于【3a,a】f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

区间需有：3a<a, 即a<0
f'(x)=-x^2+2x+3=-(x-3)(x+1)=0
得极值点x=-1,3
极小值为f(-1)=1/3+1-3-3a=-5/3-3a>0
极大值为f(3)=-9+9+9-3a=9-3a>0
f(3a)=-9a^3+9a^2+9a-3a=-9a^3+9a^2+6a=-9a(a^2+a+2/3)=-9a[(a+1/2)^2+5/12]>0
f(a)=-a^3/3+a^2=a^2(1-a/3)>0
因为a<0时，极值点都大于0，区间端点也大于0.因此a的取值范围就是a<0.