Question

抛物线y=-x^2/2与过点M(0,-1)的直线l相交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA与OB的斜

抛物线y=-x^2/2与过点M(0,-1)的直线l相交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA与OB的斜率之和为1,求直线l的方程

Answer 1

y=-x^2/2
M(0,-1) A(x1,y1) B(x2,y2) k1=y1/x1, k2=y2/x2, k1+k2=1
直线l: y+1=kx
(kx-1)=-x^2/2
x^2/2+kx-1=0
x1+x2=-k/2
x1x2=-2
y1/x1=(-x1^2/2)/x1=-x1/2
y2/x2=(-x2^2/2)/x2=-x2/2
y1/x1+y2/x2=1
(-x1/2)+(-x2/2)=1
x1+x2=-2
-k/2=-2
k=4
y+1=4x

Answer 2

设该直线为y=kx-1(∵y+1=kx)，与y=-x²/2联立得：
kx-1=-x²/2，得：x²+2kx-2=0
两根x1,x2为两交点横坐标，根据韦达定理有x1+x2=-2k
则对应的纵坐标为-x1²/2,-x2²/2，
∴OA和OB斜率k1=-x1/2,k2=-x2/2
∴k1+k2=-(x1+x2)/2=-(-2k)/2=k=1
∴k=1，直线方程为：y=x-1

Answer 3

整理x²=-2y,设参数坐标A(2m,-2m²),B(2n,-2n²)
这样的话，斜率OA+OB=-m-n=1，m+n=-1
AB斜率化简得-m-n=1，且直线过M
y=x-1