Question

当x∈(0,π/2)时，证明：x/(1+x²)＜arctanx＜x

当x∈(0,π/2)时，证明：x/(1+x²)＜arctanx＜x，求详细过程~

Answer 1

设f(x)=arctanx，x∈(0,π/2)
在[0,x]内对f(x)使用拉格朗日中值定理：存在k∈(0,x)，使得
f(x)-f(0)=f'(k)*(x-0)，即：arctanx=x/(1+k²)，由于k<x
则显然有：x/(1+x²)＜x/(1+k²)＜x，即，x/(1+x²)＜arctanx＜x成立。

Answer 2

图中    三角形 ABC面积  > 扇形 ABD面积  >  三角形 ADE面积

             1/2R^2 tan a   > 1/2R^2  a > 1/2 R^2  sina cosa 

                          tana  >  a  >  sina cosa 

设 tana = x ,           a = arctan x         

 ,  sina  cosa=  tana (cosa)^2  =  tana /(seca)^2= tana/(1+(tana)^2)= x/(1+x^2)

所以得       x  >     arctan x  >    x/(1+x²)