Question

求解正方形内的阴影部分面积？

我在表弟的中学期末考试试卷上（注意这是中学的题目），偶然看见的一道数学难题！已经请教了好几个具有大专本科研究生学历的，自以为“学富五车”的理工科才子（包括在下），都束手无策…… 希望那些具有真才实学的专家教授，给予醍醐灌顶，还望把解题思路详细说明，不胜感激！

Answer 1

设正方形ABCD边长为a，圆C弧线与圆D弧线交于P

连接DP、CP，有DP=DC=CP=a，∠DCP=60°，∠PCB=30°

则：

上部灰色APB区域面积=正方形面积-正三角形PDC面积-2*扇形CPB面积

1灰色面积=a²-√3/4a²-2*30/360*πa²=(1-√3/4)a²-πa²/6

左上2灰色1黄色凹扇形ADB区域面积=正方形面积-1/4圆面积=a²-πa²/4

1黄色面积=(2灰色1黄色) - 2个(1灰色)

         =a²-πa²/4 - 2*((1-√3/4)a²-πa²/6)

         =(√3/2-1)a²+πa²/12

由：扇形DAC+扇形BAC=矩形面积+1红2黄 得：

1红2黄=2*1/4*πa²-a²=πa²/2 - a²

1红=(1红2黄)-2(1黄色)

   =(πa²/2 - a²) - 2*((√3/2-1)a²+πa²/12)

   =(π/3-√3+1)a² 

方法2：

思路：将4个半圆弧线交点PQMN连接起来，易证四边形PQMN为正方形

边长=2asin(30°/2) 

【用半角公式求三角函数值sin15°=√(2-√3)/2，用sin(45°-30°)=(√6-√2)/4】

弓PQ的面积=扇形DPQ面积-△DPQ的面积

中间红色阴影面积=正方形PQMN面积+4弓PQ的面积

Answer 2

将左下角看作原点O，从左上角到右下角包括红色部）圆的方程为A:x2+y2=1，不包括红B:(x-1)2+(y-1)2=1.从左下角到右上角（包括红色部分）圆的方程为C:(x-1)2+y2=1,应用微积分在x€[0,1/2]上，A-B得出一黄一白的面积，A-C得出一黄一半红的面积。正方形的面积减去1/4圆的面积得出一黄二白的面积，用这面积减去之间的一黄一白的面积得出一黄的面积，在用之前的一黄一半红减去一黄…