Question

一道数学分析证明题

Answer 1

这道题应该有连续性条件或者跟连续等价的其他一些条件，否则是不正确的。有了连续条件，可以证明满足不等式的函数f(x)是凹函数，也就是-f(x)是凸函数。利用凸函数的性质可以证明。反证法：若有一点函数值大于c，不妨设a>0使得f(a)>c，则利用-f是凸函数有，对任意的x<0，有
(f(a)-f(x))/(a-x)》(f(a)-c)/a=k>0，于是f(x)《f（啊）+k(x-a)随着x趋于负无穷，f(x)趋于负无穷。其他情况类似证明。

Answer 2

反证法: 假设 存在a≠0,使得f(a)=t>c
利用已知可知[f(a)+f(-a)]/2 ≤ f(0) 所以f(-a)= A1 ≤ 2f(0)-f(-a)=2c-t<c
又 [f-3a)+f(a)]/2 ≤ f(-a)
所以 f(-3a)=A2 ≤ 2f(-a)-f(a)=2 A1- t < c
同理 可知 f[-(2n+1)a] =An ≤ 2f(-(2n-1)a)-f(a)=2 A(n-1)- t < c
所以有An≤2 A(n-1)- m≤ 2{ 2A(n-2)-t} -t ≤……
即有f[-(2n+1)a] ≤ 2^n*f(-a) - {1+2+4+……+2^(n-1)}t
当n→∞时，f[-(2n+1)a] ≤ 2^n*f(-a) - {1+2+4+……+2^(n-1)} t → - ∞
这与f(x)≥0 矛盾 所以不存在 a≠0,使得f(a)=t>c
同理可证不存在在 a≠0,使得f(a)=t<c
所以f(x)=c