Question

高等代数---行列式问题求解答（09）

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Answer 1

D1=a+b，D2=a^2+ab+b^2。n＞2时，将Dn按照最后一列展开，a+b的代数余子式是D(n-1)，ab的代数余子式再按最后一列展开，得D(n-2)，所以Dn=(a+b)D(n-1)-ab*D(n-2)，所以Dn-a*D(n-1)=b[D(n-1)-a*D(n-2)]，所以{Dn-a*D(n-1)}是等比为b，首项是b^2的等比数列，所以Dn-a*D(n-1)＝b^2×b^(n-2)＝b^n。两边同除以a^n，得Dn/a^n-D(n-1)/a^(n-1)=(b/a)^n，所以
D2/a^2-D1/a=b/a
D3/a^3-D2/a^2=(b/a)^2
......
Dn/a^n-D(n-1)/a^(n-1)=(b/a)^n
相加，得Dn＝a^n×[1＋b/a＋(b/a)^2＋...＋(b/a)^n]。
a=b时，Dn＝(n+1)a^n
a≠b时，Dn＝[a^(n+1)-b^(n+1)]/(a-b)

Answer 2

按第一列展开，第二个行列式再按第一行展开有，有D_n=(a+b_D_{n-1}-...=(a+b)D_{n-1}-abD_{n-2}，当a和b不等时，得D_n-aD_{n-1}=b(D_{n-1}-aD_{n-2})和D_n-bD_{n-1}=a(D_{n-1}-bD_{n-1})，也就是说D_n-aD_{n-1}，D_n-bD_{n-1}是公比为b a的等比数列，由于D1=a+b，D2=a^2+ab+b^2，可得D_n-aD_{n-1}=b^n，D_n-bD_{n-1}=a^n，两个方程联立求出Dn=(b^{n+1}-a^{n+1})/(b-a)。当a=b时，D_n-aD_{n-1}=a(D_{n-1}-aD_{n-2})=a^n，由D1=2a，D2=3a^2递推下去得D_n=(n+1)a^n。