Question

<线性代数>第二版 陈维新著 课后习题求解

P131 第五题
P 137 第五题,第六题,第七题
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Answer 1

证明: 由已知 α1,...,αs,β,γ 线性相关
所以存在一组不全为0的数 k1,...,ks,m,n 使得
k1α1+...+ksαs+mβ+nγ=0 (*)
由已知α1,...,αs线性无关,知m,n不能同时为0
否则 k1α1+...+ksαs = 0
故有 k1=...=ks=0
而这与 k1,...,ks,m,n 不全为0矛盾.
所以只有以下情况:
(1)m≠0且n≠0时
由(*)式得 β=(1/m)(-k1α1-...-ksαs-nγ)
γ=(1/n)(-k1α1-...-ksαs-mβ)
故 向量组α1,...,αs,β与α1,...,αs,γ等价
(2)m≠0且n=0时
此时(*)式为 k1α1+...+ksαs+mβ=0
所以 β=(1/m)(-k1α1-...-ksαs)
即 β可由α1...αs线性表示
(3)m=0且n≠0时
同(2)可得γ=(1/n)(-k1α1-...-ksαs)
即 α可由α1...αs线性表示

综上有, 或者β,γ中至少有一个可经α1...αs线性表示,
或者向量组α1,...,αs,β与α1,...,αs,γ等价