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楼上不要误导别人，一般像∫√sinxdx，∫√cosxdx等指数是分数的三角函数的原函数一般都不是初等函数，需要用到椭圆积分方面的知识来解决。
∫√secx dx是不可积的。所以楼上的答案不对。
主要破绽是在换元法那里：
你设√cosx=t
则cosx=t²
=> cos²x=t⁴
=> 1-cos²x=1-t⁴
=> sin²x=1-t⁴
=> sinx=√(1-t⁴)，你漏了个根号！！
即使有根号，这个积分(-2)∫dt/√(1-t⁴)的原函数依然无法用初等函数表示，需用第一类椭圆积分。
-arctan[√cosx]-(1/2)ln|(1+√cosx)/(1-√cosx)|+C的导数是cscx/√cosx ≠ √secx
即是cscx/√cosx的积分才是-arctan[√cosx]-(1/2)ln|(1+√cosx)/(1-√cosx)|+C，而不是√secx
∫dy/(1+y²)^(3/2)
令y=tanz，dy=sec²z dz，sinz=y/√(1+y²)，cosz=1/√(1+y²)
√(1+y²)^(3/2)=(1+tan²z)^(3/2)=(sec²z)^(3/2)=(secz)^(3/2*2)=sec³z
原式= ∫sec²z/sec³z dz
= ∫1/secz dz
= ∫cosz dz
= sinz + C
= y/√(1+y²) + C
∫√secx dx是不可积的。所以楼上的答案不对。
主要破绽是在换元法那里：
你设√cosx=t
则cosx=t²
=> cos²x=t⁴
=> 1-cos²x=1-t⁴
=> sin²x=1-t⁴
=> sinx=√(1-t⁴)，你漏了个根号！！
即使有根号，这个积分(-2)∫dt/√(1-t⁴)的原函数依然无法用初等函数表示，需用第一类椭圆积分。
-arctan[√cosx]-(1/2)ln|(1+√cosx)/(1-√cosx)|+C的导数是cscx/√cosx ≠ √secx
即是cscx/√cosx的积分才是-arctan[√cosx]-(1/2)ln|(1+√cosx)/(1-√cosx)|+C，而不是√secx
∫dy/(1+y²)^(3/2)
令y=tanz，dy=sec²z dz，sinz=y/√(1+y²)，cosz=1/√(1+y²)
√(1+y²)^(3/2)=(1+tan²z)^(3/2)=(sec²z)^(3/2)=(secz)^(3/2*2)=sec³z
原式= ∫sec²z/sec³z dz
= ∫1/secz dz
= ∫cosz dz
= sinz + C
= y/√(1+y²) + C
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