Question

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点且互相垂直，双曲线C...

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点且互相垂直，双曲线C的一个焦点与点A（1，根号2﹣1）关于直线y=x-1对称，问：是否存在直线y=kx+b与双曲线C交与P，Q，使PQ恰被（2／3，1）平分？

设双曲线Cx^2／a^2-y^2=1，a＞0与直线l：x+y=1相交于不同点A，B，问：设直线l与y轴的交点为P，且向量PA=5／12向量PB，求a的值

Answer 1

(1)解：设双曲线为x^2/a^2-y^2/b^2=1,由两条渐近线过坐标原点且互相垂直可得a/b=1,即a=b，
所以双曲线又为x^2/a^2-y^2/a^2=1
因为双曲线的右焦点和A点关于直线y=x-1对称，故，右焦点和A点的中点（（1+c）/2,(根号2-1）/2)在直线y=x-1上，就有
（ 根号2-1）/2=(1+c)/2-1,即c=根号2
而c^2=a^2+b^2=2a^2,可得a^2=1,所以双曲线为x^2-y^2=1
联立双曲线和直线y=kx+b，即有（1-k^2)x^2-2kx-b^2-1=0,而两者有两个交点的条件是
（-2k)^2-4(1-k^2)*(-b^2-1)>0,即b^2-(b^2)*(k^2)+1>0且k^2不等于1
设点P（x1，y1）Q（x2，y2),有x1+x2=(2k)/(1-k^2),x1*x2=(-b^2-1)/(1-k^2);
点P和点Q的中点为（2/3,1),即有x1+x2=(2k)/(1-k^2)=2*（2/3),解出k=-2或k=1/2
而Q（2/3,1)在直线PQ上，故y=-2x+7/3或y=(1/2)x+2/3
(2)解：设点A（x1，y1）,点B(x2，y2），联立双曲线和直线可得（1/a^2-1)x^2+2x-2=0
存在两个交点的条件是2^2-4（1/a^2-1)(-2)>0,即a属于（0，1）并上（1,2）
x1+x2=2a^2/(a^2-1)……（1）
由向量PA=5／12向量PB可得（x1，y1-1）=(5/12)（x2，y2-1），即有12x1=5x2……（2） 你看看题目是不是超错了！！！！

Answer 2

答：存在直线y=2/3x+5/9与双曲线C交与P，Q，使PQ恰被（2／3，1）平分。
a=7/13

Answer 3

a=8